[Mathe] Wendepunkte

[Exorz1st]

Bin gerade am lernen für Mathe und kam eigtl auch ganz gut durch aber jetzt bin ich etwas verdutzt: https://www.mathe-profis.de/mathe.php?page=klasse_11/kurvendiskussion/12

warum zum Teufel muss ich bei den Wendestellen nach dem Nullsetzen nochmal die Wurzel ziehen?

Wär nett wenn ihr mir das erläutern könntet.

Bzw. wo wir schon dabei sind: Wie finde ich heraus ob meine errechneten Extremstellen Hoch- oder Tiefpunkte sind?

 

[DaPhreak]

warum zum Teufel muss ich bei den Wendestellen nach dem Nullsetzen nochmal die Wurzel ziehen?

Das ist ein Druckfehler.

Da die erste Ableitung -4x[sup]3[/sup]+8x ist, muss die zweite Ableitung -12x[sup]2[/sup]+8 lauten, nicht wie dort geschrieben -12x+8. Deshalb sind die Nullstellen der zweiten Ableitung dann halt +-Wurzel(2/3).

Bzw. wo wir schon dabei sind: Wie finde ich heraus ob meine errechneten Extremstellen Hoch- oder Tiefpunkte sind?

Wenn die zweite Ableitung an der Stelle negativ ist, ist es ein Maximum.
Wenn die zweite Ableitung an der Stelle positiv ist, ist es ein Minimum.
Wenn die zweite Ableitung an der Stelle null ist, kann es ein Sattelpunkt (gar keine Extremstelle) sein, es kann aber auch trotzdem noch Minimum oder Maximum sein. Sprich, dann weiß man es nicht und muss weiter testen:
Entweder: Vorzeichenwechselkriterium nehmen: Vorzeichen der ersten Ableitung links und rechts von der Nullstelle auswerten. Wenn (-,+), dann Minimum, wenn (+,-) dann Maximum, wenn (-,-) oder (+,+) dann Sattelpunkt.
Oder: weiter ableiten, solange bis man eine Ableitung hat, die an der Stelle von 0 verschieden ist. Wenn das eine Ableitung gerader Ordnung ist (4te, 6te, 8te usw), dann ist es eine Extremstelle (Max/Min je nach vorzeichen, wie oben), falls es eine Ableitung ungerader Ordnung ist (3te, 5te, 7te usw) dann war es ein Sattelpunkt.


Beispiel: x[sup]2[/sup]. Ableitung ist 2x => extremwertverdächtige Stelle 0.
Zweite Ableitung ist 2, also positiv, also ein Minimum bei 0.

Beispiel: x[sup]3[/sup]. Ableitung 3x[sup]2[/sup] => extremwertverdächtige Stelle 0. Zweite Ableitung 6x, ist null. Vorzeichenwechselkriterium gibt (+,+), also Sattelpunkt. Wahlweise weiter ableiten, die erste von null verschiedene Ableitung ist die dritte (6), damit also kein Extremum (Sattelpunkt).

Beispiel: x[sup]4[/sup]: Ableitung 4x[sup]3[/sup] => extremwertverdächtige Stelle 0.
Zweite Ableitung 12x[sup]2[/sup], ist null. Vorzeichenwechselkriterium gibt (-,+), also Minimum.
Wahlweise weiter ableiten, die erste von null verschiedene Ableitung ist die vierte (24), damit also ein Extremum. Da die vierte Ableitung positiv ist, ein Minimum.