Drehmatrix Drehung um die Taumdiagonale des Einheitswürfels.

asra

Well-known member
16 April 2007
290
57
Hallo,
ich soll die Drehmatrix für eine Drehung um die Raumdiagonale des Einheitswürfels finden. Wie mache ich das?

Kann ich nicht einfach folgendes Ausführen?
Drehung um 90° um die x-Achse, dann Drehung um 90° um die y-Achse, dann Drehung um 60° um die z-Achse, dann Drehung um -90° umd y-Achse, dann Drehung um -90° umd die x-Achse.

Sollte dies tatsächlich funktionieren, wie finde ich dann die Drehmatrix heraus? Die Matrizen für die Drehung um die einzelnen Achsen habe ich. Aber was muss ich nun machen, multiplizieren oder addieren?

Oder ist mein Gedanken völlig verkehrt? Stehe echt total auf dem Schlauch.
Mit der Bitte um Hilfe, asra
 
:arrow: Wenn Du mehrere Drehungen durch Drehmatrizen ausgedrückt hast und die dann alle nacheinander ausführen willst, musst Du die Drehmatrizen multiplizieren. Dabei kann die Reihenfolge entscheidend sein, die Drehung die zuerst ausgeführt werden soll, muss ganz rechts stehen.

Warum? Sagen wir p ist ein Punkt, der erst durch die Drehmatrix D[sub]1[/sub] gedreht werden soll und dann durch die Drehmatrix D[sub]2[/sub].

Dann ist die erste Drehung: p[sub]1[/sub] = D[sub]1[/sub] * p und die zweite Drehung p[sub]2[/sub] = D[sub]2[/sub] * p[sub]1[/sub]. Die eine in die andere Gleichung eingesetzt liefert:

p[sub]2[/sub] = D[sub]2[/sub] * D[sub]1[/sub] * p

und damit als effektive Drehmatrix D[sub]2[/sub] * D[sub]1[/sub].


:arrow: Nun zu Deinem eigentlichen Problem: Ich verstehe nicht ganz, wie Du Dir das mit den Drehwinkeln überlegt hast, deshalb weiß ich nicht ob es stimmt. Wenn Du aber mal hier schaust, da ist eine Drehmatrix für die Drehung um einen beliebigen Vektor (v1,v2,v3) angegeben:

ed00f5cb1a4db188b251a84f396333ac.png


Dabei muss der Vektor allerdings Länge 1 haben, in Deinem Fall wäre dann v1=v2=v3=1/sqrt(3).
 
Hallo, danke dir für die Antowort!

Aber ich ahbe natürlich auch bei wiki gehscut und die matrix gefunden.
Problem nur ich soll das irgendwie herleiten.

Mir ist nur ein Gedanklicher Fehler unterlaufen.
Ich muss natürlich nicht um 90° drehen sondern um 45° ich möchte nämlich das ganze so drehen, dass nachher die Raumdiagonale(die Drehachse) auf einer Achse meines Koordinatensystems liegt. Dann habe ich nämlich das Problem auf eines mir bekannten zurückgeführt.
 
ich möchte nämlich das ganze so drehen, dass nachher die Raumdiagonale(die Drehachse) auf einer Achse meines Koordinatensystems liegt. Dann habe ich nämlich das Problem auf eines mir bekannten zurückgeführt.

Ah, jetzt verstehe ich Deinen Ansatz. Ja ich glaube das ist richtig. Die Gesamtdrehmatrix wäre dann also

D[sub]x[/sub][sup]T[/sup] * D[sub]y[/sub][sup]T[/sup] * D[sub]z[/sub] * D[sub]y[/sub] * D[sub]x[/sub]

wobei D[sub]x[/sub] und D[sub]y[/sub] die festen Drehungen um x- und y-Achse sind (45° wie Du sagst... bist da sicher?), D[sub]z[/sub] dann um den gewünschten Winkel um die z-Achse dreht und das [sup]T[/sup] für Matrix-Transponierte steht (Transponierte bedeutet ja Drehung in umgekehrte Richtung).

Der selbe Algorithmus wird z.B. auch hier vorgeschlagen. Da steht nur auch nichts zu den Winkeln... sicher, dass das genau 45° sind? Da fehlt mir grad bisschen räumliches Denken mir das zu überlegen... *g*

Na kannst es ja mal probieren mit Deinem Weg und mit der Formel und dann schaun ob das gleiche rauskommt. :)
 
Hi,

ich habe das jetzt über einen anderen Weg gemacht.
Ich habe einfach die Formel

r'= r*n*n+cos(alpha)(r-r*n*n)+sin(alpha)nxr genommen und ausgerechnet, ich habe mal wieder nicht die Hinweise in der Aufgabe gelesen, da stand nämlich diese Formel als Hilfe.

Dennoch bin ich mir Recht sicher, dass es bei meiner anderen Idee 45° sind. Denn es handelt sich ja um die Raumdiagonale des Einheitswürfels. Ich kann ja den Vektor auf z.b. die X-Y Ebene projektieren. Wenn ich nun nur die Ebene und den projektierten Vektor betrachte, habe ich quasi ein Quadtrat mit der Kantenlänge 1 und eine Diagonale, den Vektor. Nun schließen Vektor und Achse 45° ein.
Sofern ich keinen Denkfehler gemacht habe....
 
Dennoch bin ich mir Recht sicher, dass es bei meiner anderen Idee 45° sind. Denn es handelt sich ja um die Raumdiagonale des Einheitswürfels. Ich kann ja den Vektor auf z.b. die X-Y Ebene projektieren. Wenn ich nun nur die Ebene und den projektierten Vektor betrachte, habe ich quasi ein Quadtrat mit der Kantenlänge 1 und eine Diagonale, den Vektor. Nun schließen Vektor und Achse 45° ein.
Sofern ich keinen Denkfehler gemacht habe....

Stimmt, wenn Du die Raumdiagonale erstmal in die X-Y-Ebene gebracht hast, dann muss sie 45° rotiert werden um z.B. auf der x-Achse zu liegen.

Nur wieviel musst Du im ersten Schritt die Raumdiagonale rotieren, damit sie in die X-Y-Ebene kommt? Dazu musst Du Dich fragen: Welchen Winkel schließt die Raumdiagonale mit der X-Y-Ebene ein?

Um das zu beantworten kannst Du dir das Dreieck überlegen was entsteht wenn Du die Raumdiagonale nimmst, deren Projektion auf die X-Y-Ebene und die hintere Kante vom Würfel. Das Dreieck ist rechtwinklig.

Die Hypotenuse dieses rechtwinkligen Dreiecks ist die Raumdiagonale, die hat im Einheitswürfel Länge Wurzel(3). Eine Kathete ist eine Kante des Würfels, die hat Länge 1. Und die andere Kathete ist die Diagonale der Würfelfläche die "unten" liegt und diese hat damit eine Länge von Wurzel(2). Probe ob es stimmt: Im rechtwinkligen Dreieck muss der Satz des Pythagoras gelten, also 1+2 = 3, stimmt.

Und nun kannst Du den Winkel bestimmen: sin[sup]-1[/sup](1/Wurzel(3)) und das sind etwa 35,3°.


Falls Du einen Würfel zur Hand hast, kannst Du Dir das auch optisch überlegen: Nimm Dir die Diagonale einer Seitenfläche zur Hand, die hat den Winkel 45° mit der Grundfläche. Nun überleg Dir wie die Raumdiagonale liegt, Du siehst, dass die Gerade etwas flacher liegen muss, weil sie einen Punkt in der Deckfläche trifft, der weiter "hinten" liegt.
 
JO, du hast Recht, 45° ist völliger Blödsinn!

Aber ich habe es nun raus, danke